Слово «четверкою» является словоупотреблением в русском языке, которое состоит из корней «четверь» и суффикса «кою». Поэтому для определения части речи слова, необходимо изучить значения данных корней и суффикса.
Слово «четверь» является существительным, которое означает одну из частей целого, равную четверти. Суффикс «кою» часто используется в русском языке, чтобы образовывать слова при помощи существительных, прилагательных и числительных. Например, «скорою», «дождливою», «третьего рода» и так далее.
Сочетание существительного «четверь» и суффикса «кою» образует словосочетание «четверкою», которое обозначает такое количество, которое равно одной четверти от целого. При этом, это словоупотребление само по себе не имеет грамматических характеристик.
Итак, можно сделать вывод, что слово «четверкою» не является какой-либо определенной частью речи, а представляет собой словоупотребление, которое образовано от существительного и суффикса и обозначает какое-то количество.