Слово «догоравшем» является формой глагола, относящуюся к категории причастия. Причастия – это такие формы глагола, которые имеют признаки как глагола, так и прилагательного, они сочетаются с существительными, выражают признаки действия или состояния, и служат для образования сложных форм глагола и глагольных времен.
Прошедшее время долговременных действий или состояний, которые происходят на момент речи, выражается при помощи причастия действительного залога, стоящего в инструментальном падеже. Так, слово «догоравшем» — это форма причастия действительного залога, стоящая в инструментальном падеже мужского рода единственного числа.
В предложении, где используется слово «догоравшем», оно является определением к существительному. Например, в предложении: «Мы стояли у костра, догоравшему под утро», слово «догоравшему» является определением к существительному «костру», указывая на то, что костер уже сгорел почти до конца и находится в процессе тухнения.
Таким образом, слово «догоравшем» является формой глагола – причастием, относящимся к прошедшему времени, и служащим для выражения признака действия или состояния, которое продолжается на момент речи.