Слово «дошедшее» относится к одной из 10 частей речи в русском языке — к причастию. Причастие — это слово, образованное от глагола, которое сохраняет некоторые особенности глагола и имеет свойства прилагательного. В русском языке существует две формы причастий — причастие настоящего времени (активного или пассивного) и причастие прошедшего времени (полное или краткое), которые изменяются по роду, числу и падежу.
Слово «дошедшее» является краткой формой причастия прошедшего времени, образованной от глагола «дойти». Краткое причастие прошедшего времени обозначает признак, относящийся к существительному или местоимению, и может выполнять функцию определения, обстоятельства, присоединяться к глаголу или формировать сложное глагольное сказуемое.
В предложении «Я рад, что ты дошел до моего дома», слово «дошедшее» выполняет функцию определения и отвечает на вопрос «кто дошел?». Также это слово можно заменить на форму существительного, например: «Я рад, что ты достиг моего дома», но в данном случае это изменит смысл и тональность предложения.
Как и многие другие части речи, причастия в русском языке могут иметь сложные формы и образовываться от различных глаголов. Слово «дошедшее» — это лишь один из примеров, и показывает, как многообразен и богат русский язык.