Слово «доставшись» является глагольной формой в прошедшем времени, которая образована вспомогательным глаголом «достать» и суффиксом «-ся». Такие формы называются причастиями, их можно применять как прилагательные, указывая на состояние или действие, которое уже завершилось в прошлом.
В данном случае слово «доставшись» выражает завершенное действие, которое произошло с субъектом, указанным в предыдущем контексте. Например, в предложении «Этот дом достался мне в наследство», слово «доставшись» выражает приобретение дома мной после наследования.
Другими словами, «доставшись» это прошедшее время глагола «достать» с добавлением возвратного местоимения «себя», которое указывает на передачу действия обратно на субъект.
Таким образом, можно сделать вывод, что слово «доставшись» является причастием прошедшего времени глагола «достать» с возвратным залогом. Это грамматически правильный термин, который используется в русском языке для обозначения подобных словоформ.