Слово «надеявшиеся» является формой причастия прошедшего времени от глагола «надеяться». Также его можно отнести к глагольной части речи в качестве составляющей сложносочиненного глагола.
Причастие — это безличная форма глагола, которая выражает признак действия или процесса, а также обладает некоторыми признаками существительного и прилагательного. В русском языке причастия могут быть двух видов: действительного и страдательного залога, а также положительного и отрицательного значения.
Составным глаголом называется конструкция, в которой глагол совмещается с другой частью речи, образуя тем самым единое грамматическое целое. В русском языке составные глаголы могут быть двух типов: простые и сложные.
Сложносочиненный глагол представляет собой одновременное наличие двух глаголов с одним и тем же подлежащим. В данном случае глагол «надеяться» сочетается с причастием «надеявшиеся», образуя сложносочиненный глагол «надеявшиеся надеяться».
В заключение можно отметить, что слово «надеявшиеся» является формой причастия прошедшего времени глагола «надеяться» и может использоваться как часть сложносочиненного глагола.