Слово «обежавши» является причастием прошедшего времени от глагола «обежать». Причастие — это такая часть речи, которая образуется от глаголов и обладает признаками как глагола, так и прилагательного.
Причастие имеет форму полной (зачастую суффикс «щий» у глаголов находится в начале слова) и краткой (у причастий в краткой форме убирается окончание «ший/щий» и, в зависимости от пола, изменяется окончание; то есть, мужской род имеет окончание «ий», женский — «ая», средний — «ое»). Краткое причастие используется для обозначения качества предмета или лица, например: «обученный студент», «нашедшая свой ключ девушка».
Возвращаясь к слову «обежавши», оно описывает действие, которое уже было завершено в прошлом. Например: «Я встретил своего друга, который только что обежал все магазины в поисках подарка для своей девушки». Здесь подразумевается, что друг уже отыскал подарок, так как действие уже произошло и закончилось.
В заключении можно подчеркнуть, что причастия используются в русском языке очень часто и являются важными частями речи, которые помогают нам уточнить смысл высказывания и описать действия, которые уже произошли.