Слово «обижавшись» является формой глагола прошедшего времени совершенного вида, что делает его причастием. А именно, «обижавшись» является причастием действительного залога, совершенного вида, прошедшего времени от глагола «обижаться».
В русском языке причастия являются особым видом глагольных форм и выполняют две функции — описательную и служебную. Описательная функция заключается в том, что причастия с помощью форм и окончаний передают состояние, действие или свойство предмета или личности. В данном случае, слово «обижавшись» передает состояние человека — он обиделся на что-то.
Служебная функция причастия заключается в том, что оно может выступать в качестве определения, дополнения, обстоятельства, причины или условия. В предложении «Он ушел обижавшись» причастие «обижавшись» выступает в качестве обстоятельства, описывающего обстоятельство ухода.
Таким образом, слово «обижавшись» является причастием, которое не только описывает состояние человека, но и выполняет определенные служебные функции в предложении. Знание особенностей причастий поможет лучше понимать тексты и грамотно строить свою речь.