Слово «отправившейся» является однокоренным причастием прошедшего времени от глагола «отправиться». Причастия — это формы глагола, которые имеют признаки и призвание прилагательных и глаголов одновременно.
Причастия делятся на два вида — причастия настоящего времени и причастия прошедшего времени. Первые обозначают одновременность действия с главным предложением и отвечают на вопросы «Кто? Что делает?», вторые обозначают предшествование действия главному предложению и отвечают на вопросы «Кто? Что сделал?».
Примеры причастий прошедшего времени: отправившийся, отправленный, отправившегося, отправившуюся, отправившимся, отправившейся, отправившимися и т.д. В данном случае слово «отправившейся» образовано от глагола «отправиться» путём добавления прибавочных окончаний, которые зависят от рода, числа и падежа главного слова.
Синтаксически причастие является видом деепричастия или прилагательного. В предложении «Она отправившейся на вокзал» оно выполняет функцию обстоятельства образа действия, отвечая на вопрос «Как?». То есть, как она отправилась на вокзал? Она отправилась, будучи готовой к длительному путешествию.
Таким образом, слово «отправившейся» в русском языке является причастием прошедшего времени, который образован от глагола «отправиться». Синтаксически оно выполняет функцию обстоятельства образа действия.