Слово «паутинке» — это неправильная форма глагола, образованная от существительного «паутина». Оно относится к группе слов-несклоняемых, которые не изменяют свою форму в зависимости от падежа.
Существительное «паутина» относится к женскому роду и может употребляться в различных падежах: паутины, паутине, паутиной и т.д. В русском языке это слово используется для обозначения сетчатой конструкции, которую плетут пауки для ловли добычи. Паутина может использоваться в переносном значении, обозначая сложные нерешённые проблемы.
Однако слово «паутинке» — неправильное словообразование, которое не имеет отношения к согласованию и падежу. В стандартном русском языке его употребление недопустимо.
Таким образом, для правильного использования этого слова следует использовать форму «паутиной» в различных падежах, а неправильное образование «паутинке» следует исключить. Важно запомнить, что при общении на русском языке важно придерживаться общепринятых правил грамматики, чтобы не допустить ошибок в речи.