Слово «побросав» представляет собой форму глагола «побросать», и является причастием прошедшего времени действительного залога. Глагол «бросать» относится к группе неправильных глаголов и имеет форму прошедшего времени «бросил». Однако, если перед глаголом добавить приставку «по-«, то получится форма причастия прошедшего времени, которую можно употреблять в функции наречия.
Например:
— Он побросал книги по всей квартире и не может найти нужную. Здесь слово «побросал» стоит в функции глагольного сказуемого и является формой причастия прошедшего времени, обозначающей завершенное действие.
— Он пошел по лесу, побросав осколки солнца на шляпу. В данном случае слово «побросав» употреблено в функции наречия, обозначающего образ действия.
Следует учесть, что данная форма причастия прошедшего времени образуется только от глаголов, которые имеют соответствующую основу. Например, от глагола «говорить» можно образовать причастие «поговорив». Однако, от глагола «любить» нельзя образовать аналогичную форму, потому что его основа не совместима с такой приставкой.
В заключение можно сказать, что слово «побросав» является краткой формой причастия прошедшего времени глагола «побросать» и может выполнять как глагольную, так и наречную функции.