Слово «подарившая» в русском языке является причастием прошедшего времени от глагола «подарить». Применительно к общему определению, причастие — это часть речи, которая выступает как одно из грамматических составляющих предложения и характеризуется временной формой глагола, а также относительной самостоятельностью в составе предложения.
Причастие выполняет функции, которые связаны с его временной формой. Так, причастие прошедшего времени выражает действие, завершившееся в прошлом до момента, когда происходит основное действие, указывая на раннее происшедшее событие.
В предложении «Она вернулась домой, подарившая маме букет цветов» слово «подарившая» выполняет функцию обстоятельства причины, указывая на причину действия «вернулась». В этом контексте причастие выделяет именно действие подаривания букета как основное, а возвращение домой – как второстепенное.
Конечно, роль причастия может быть иной в разных контекстах – оно может выступать в роли определения, дополнения и т. д. Важно, что причастие в любом случае характеризует действие, выделяет его и уточняет смысл предложения.
В заключение можно сказать, что слово «подарившая» в русском языке – это причастие прошедшего времени, которое выступает как грамматический элемент предложения, уточняющий смысл действия и обогащающий текст.