Слово «поиграв» является формой глагола, а именно — причастным прошедшим временем глагола «поиграть».
Глагол — это часть речи, обозначающая действие или состояние предмета или описывающая происходящее действие. Глаголы склоняются по временам (настоящее, прошедшее, будущее и др.) и лицам (1-ое, 2-ое, 3-е).
Причастие — это неличная форма глагола, которая используется для образования временных форм глагола (например, «поиграв», «поиграю» и т.п.), а также для образования сложных форм глагола (например, «отыгравшись»).
Прошедшее время «поиграв» образовано добавлением к инфинитиву «поиграть» суффикса «-в», а также суффикса «-ш» для образования причастия прошедшего времени.
Таким образом, слово «поиграв» является причастным прошедшим временем глагола «поиграть» и относится к грамматической категории времени и лица глагола.