Слово полюбовавшись является сложным глагольным действительным причастием прошедшего времени от глагола полюбоваться. Сложность этого слова объясняется тем, что оно состоит из трех частей: приставки по-, корня люб, суффикса –ова– и суффикса –вши–.
Глагольное причастие – это одна из форм глагола, которая обозначает признак действия и служит для образования сложных времен, уточнения значения сказуемого, выражения дополнительных обстоятельств и других функций.
Причастие может быть действительным и страдательным, настоящего, прошедшего и будущего времени. В данном случае речь идет о действительном причастии прошедшего времени.
Причастия прошедшего времени образуются от глаголов с помощью суффиксов –вши, –ши, –в, –вший и служат для обозначения действия, которое закончилось в прошлом и имеет отношение к настоящему времени.
В данной форме слова причастие имеет значение дополнительного обстоятельства и уточняет обстоятельства глагола, указывая на то, что действие произошло с участием лица, которое испытывает удовольствие от его наблюдения.
Таким образом, слово полюбовавшись является сложным действительным причастием прошедшего времени от глагола полюбоваться и обозначает признак произошедшего действия.