Слово «поправившись» является глаголом в составе сложного глагольного сказуемого. Грамматически сложное глагольное сказуемое может состоять из глагола в основной форме и одного или нескольких служебных слов, например вспомогательных глаголов, частиц, инфинитивов, наречий и пр.
В данном случае глагольное сказуемое состоит из глагола «поправиться» и причастия прошедшего времени «шись» (которое образуется от глаголов на -ивать, -ывать, -ать), образующего таким образом глагольную форму — «поправившись».
При этом «поправившись» выполняет функцию определения действия, которое совершается в предложении при помощи глагола «быть» или «становиться». Например: «Он поправившись, начал заниматься спортом» — здесь «поправившись» описывает совершенное действие, а «начал заниматься» показывает, что это действие произошло в определенный момент в прошлом.
Таким образом, слово «поправившись» является причастием прошедшего времени глагола «поправиться» и выполняет функцию определения действия в составе сложного глагольного сказуемого.