Слово «попрощавшись» является сложным глагольным наречием в русском языке.
Наречия являются одной из частей речи, их функция заключается в указании на обстоятельства действия, признака, состояния или других окружающих обстоятельств. Наречия могут отвечать на вопросы «как?», «где?», «когда?», «откуда?», «куда?», «почему?» и «зачем?».
При этом сложные наречия могут образовываться от глаголов с помощью приставок, окончаний и суффиксов. Сложные наречия могут быть образованы от глаголов, прилагательных, местоимений и др.
В слове «попрощавшись» можно разобрать корень (прощ), приставку (по) и суффиксы (-ав-, -ш-, -ись). Корень глагола (прощать) указывает на действие прощания, приставка (по-) формально меняет значение глагола на уточненную форму и добавляет значение «до конца», а суффиксы (-ав-, -ш-, -ись) указывают на прошедшее время и на признак готовности к действию, т.е. «быть готовым попрощаться».
Итак, слово «попрощавшись» является сложным глагольным наречием, которое указывает на то, что прощание уже состоялось, и лицо, совершившее прощание, было к этому готово.