Слово «потрудившись» является сложным глагольным деепричастием прошедшего времени в составе составного глагола «потрудиться».
Деепричастие — это неособенная форма глагола, которая обладает свойствами и глагола, и прилагательного. По своей форме деепричастие является производной формой от глагола, но по своей функции обозначает действие или признак, то есть превращается в глагольно-существительное или прилагательно-существительное словосочетание.
Составной глагол «потрудиться» образован от глагола «трудиться» путем добавления приставки «по-«, которая придает глаголу дополнительный оттенок значения. В результате получается глагол, который означает «произвести усилие, приложить дополнительные усилия для достижения какой-либо цели».
Таким образом, слово «потрудившись» сочетает в себе свойства деепричастия и глагола и используется для передачи действия, которое было выполнено с усилием. Например, «Он долго работал над проектом, потрудившись над каждой деталью».
В заключение, слово «потрудившись» является сложным глагольным деепричастием прошедшего времени и составной частью глагола «потрудиться», используемого для обозначения усилий, приложенных для достижения какой-либо цели.