Слово «продолжавшихся» является причастным оборотом, который употребляется для выражения длительного действия, происходившего в прошлом и продолжавшегося в течение некоторого времени.
Причастный оборот состоит из причастия (в данном случае — причастия прошедшего времени от глагола продолжать) и соответствующего ему существительного или местоимения, выражающего подлежащее.
В данном случае мы имеем следующую конструкцию: продолжавшихся (причастие прошедшего времени) воспоминаний (существительное), что означает, что воспоминания продолжались в течение определенного времени в прошлом.
Таким образом, в русском языке слово «продолжавшихся» относится к классу причастных оборотов и выполняет функцию дополнения к подлежащему.