Слово «прогулявшийся» — это сложносочиненное слово, состоящее из основы глагола «прогуляться» и приставки «по-«, образующей совершенный вид.
Поэтому, с точки зрения грамматики, слово «прогулявшийся» относится к категории глаголов, образованных сложением, которые становятся полноценными глагольными словами благодаря предшествующим им приставкам и суффиксам.
Кроме того, слово «прогулявшийся» несет в себе признаки причастия — сочетания глагольной и прилагательной формы. В данном случае слово перекликается и с прошедшим временем, и с формой причастия.
Причастия бывают двух типов: действительные (активные) и страдательные (пассивные). Слово «прогулявшийся» — причастие действительного залога, так как оно указывает на действие, выполненное субъектом.
В зависимости от своей формы, причастия могут выполнять функции прилагательных, то есть определять существительные. В данном случае слово описывает объект, выполняет функцию определения и ссылается на пропущенное существительное.
Таким образом, слово «прогулявшийся» в русском языке является сложносочиненным глаголом, образованным сложением, обладает чертами причастия, и выполняет функцию определения существительного.