Слово проснувшейся является формой глагола, а точнее — причастия настоящего времени активного залога женского рода от глагола проснуться.
Причастие — это одна из многочисленных грамматических форм глагола. В отличие от инфинитива и личных форм глагола, которые употребляются в предложении как сказуемые и выражают действие, причастие имеет свойства и формы прилагательного и описывает признак действия. То есть, оно характеризует отношение субъекта к действию, выраженному глаголом.
В данном случае, причастие проснувшейся описывает признак проснувшейся женщины — у нее уже произошло действие пробуждения. Примеры употребления данной формы глагола: «Проснувшаяся женщина улыбнулась», «Я видела проснувшуюся кошку на окне», «Со своей проснувшейся энергией он начал день».
Кроме того, причастия могут также использоваться в качестве обстоятельственных определений и обстоятельственных обособлений в предложении: «Проснувшись рано утром, я пошла на пробежку», «Проснувшись, она включила музыку и начала убираться в комнате», «Проснувшись от шума за окном, я увидела, что начался сильный дождь».
Таким образом, слово проснувшейся является причастием настоящего времени активного залога женского рода от глагола проснуться и может использоваться для описания признаков субъекта, связанных с действием, а также в качестве обстоятельственных определений и обособлений.