Слово «проснувшимся» является формой глагола прошедшего времени совершенного вида (деепричастия) от глагола «проснуться». Деепричастия — это одна из номинативных форм глагола (наряду с инфинитивом, причастиями и глагольными формами), которая может выполнять функции как глагольного, так и прилагательного значения в предложении.
Деепричастия могут обозначать действие или процесс, который совершается одновременно с главным действием в предложении, а также может описывать какое-либо качество, свойство, характеристику действия или предмета.
В данном случае, слово «проснувшимся» выполняет функцию определения и указывает на кого (или что) относится действие процесса проснувшись. Например: Я встретил проснувшегося друга на улице. Здесь деепричастие используется в качестве прилагательного, описывая состояние друга на момент встречи.
Таким образом, «проснувшимся» является деепричастием — формой глагола, которое выполняет функцию прилагательного, обозначая состояние, свойства или качества действия или объекта.