Слово «простудившись» является сложным глагольным составным сказуемым с приставкой «про-«, корнем «студ», суффиксом «-ив-ш-«, окончанием «-ись».
Глагол «студить» означает «вызывать озноб, простуду» и образует отглагольное прилагательное «студенческий» и наречие «студёно», что отсылает к холодной, неприятной погоде и заболеванию от простуды.
Префикс «про-» образует значительно более широкий диапазон значений. В данном слове он указывает на то, что действие глагола произошло в прошлом, но оно имеет актуальное значение.
Суффикс «-ив-ш-» образует прошедшее время несовершенного вида и обозначает завершенность действия. Вместе с этим, он также проявляет переходность глагола, то есть указывает на то, что действие глагола было направлено на другой объект.
Окончание «-ись» является окончанием возвратной формы глагола. Возвратный глагол указывает на то, что действие, произведенное с объектом, возвращается к исходному объекту и направлено на него.
Таким образом, слово «простудившись» представляет собой глагольное составное сказуемое, обозначающее завершенное действие, направленное на себя с целью вызвать заболевание простудой.