Слово «просыпавшемся» является причастием прошедшего времени действительного залога от глагола «просыпаться».
Причастие — это неличная форма глагола, которая обладает свойствами и глагола и прилагательного. С помощью причастий можно описывать действие и его субъекта, а также выражать различные оттенки значения.
В данном случае причастие прошедшего времени служит для обозначения действия, которое уже произошло в прошлом, т.е. «просыпавшемся» означает «кто-то, кто проснулся».
Существуют три перфективные формы причастий: причастие настоящего времени, причастие прошедшего времени и причастие будущего времени. Причастие настоящего времени обозначает действие, которое происходит в данный момент, причастие будущего времени показывает действие, которое еще не произошло, но предполагается его выполнение.
Таким образом, слово «просыпавшемся» является причастием прошедшего времени и обозначает действие, которое уже произошло в прошлом. Однако, важно понимать, что причастие прошедшего времени может выполнять не только функцию определения к существительному, но и использоваться в качестве глагольной формы с полной грамматической функцией глагола.