Слово «пятнадцатой» является порядковым числительным и соответствует существительному в женском роде в родительном падеже единственного числа.
Порядковые числительные обозначают порядок следования предметов в серии или ряду, а также порядок чисел в числовой последовательности. Они имеют форму существительного и склоняются по числам, родам и падежам, как и обычные существительные.
В русском языке порядковые числительные могут быть относительными или абсолютными. Относительные числительные обозначают порядок одного предмета или числа относительно другого. Абсолютные числительные, например, «пятнадцать», обозначают точный порядок и называются числительными количественными.
Порядковое числительное «пятнадцатая» может употребляться как самостоятельно, так и в составе существительного. Например, «пятнадцатая минута часа», «пятнадцатая девушка в очереди», «пятнадцатого числа месяца».
Таким образом, слово «пятнадцатой» является порядковым числительным и относится к разряду слов, которые указывают на порядок следования в серии или ряду.