Слово «рассмеявшись» — это форма глагола прошедшего времени совершенного вида с дополнительным элементом. Точнее, это причастие от глагола «рассмеяться», образованное при помощи приставки «ра-» и суффикса «-вшись».
Одна из функций причастия — выражение действия, произошедшего ранее. В данном случае, причастие «рассмеявшись» указывает на то, что действие смеха уже произошло в прошлом. Таким образом, это не самостоятельная часть речи, а «модифицированная» форма глагола.
В русском языке причастия — это не глагольные формы, но они все же относятся к глаголам, их основе наличие суффиксов свидетельствует о принадлежности к повелительному наклонению и наличии времени и страдательного залога.
С другой стороны, причастия могут использоваться в качестве прилагательных. В данном случае, причастие «рассмеявшись» выражает признак состояния человека, который уже смеется. Например, можно использовать такое выражение, как «он был рассмеявшись».
Таким образом, можно сделать вывод, что «рассмеявшись» — это форма глагола, используемая в качестве причастия, которое может быть использовано как глагол, так и прилагательное. В любом случае, это не самостоятельная часть речи, а связанная с глагольной основой.