Слово «спешившие» в русском языке является причастным образованным от глагола «спешить». Принадлежность к частям речи определяется по формальным признакам. Причастия — это формы глагола, которые используются в качестве прилагательных и обозначают признак действия, выраженного глаголом.
Причастие может быть совершенным или несовершенным. Совершенное причастие образуется от совершенного вида глагола, который обозначает завершенное действие в прошлом. Несовершенное причастие образуется от несовершенного вида глагола и обозначает незавершенное действие в настоящем или прошедшем времени.
В слове «спешившие» присутствует суффикс -ши-, который указывает на то, что это несовершенное причастие прошедшего времени, образованное от глагола несовершенного вида «спешить». Оно обозначает, что действие «спешить» было незавершенным, т.е. продолжалось в прошлом.
Применительно к предложению, слово «спешившие» может выступать в качестве определения, т.е. указывать на признак подлежащего. Например:
«Пассажиры, спешившие со ступенек автобуса, перечесали дорогу.» — в этом предложении слово «спешившие» указывает на признак пассажиров.
Таким образом, частью речи, которой является слово «спешившие» в русском языке, является причастие несовершенного вида прошедшего времени.