Согласно классификации частей речи, слово «строжайше» является наречием.
Наречие — это часть речи, которая обозначает признак действия или качество предмета, но не имеет собственного сказуемого. Наречие отвечает на вопросы: как?, где?, когда?, сколько?, почему? и т.д.
Слово «строжайше» образовано от слова «строгий» посредством добавления к нему суффикса «-ше», что указывает на нахождение признака в наивысшей степени. Таким образом, наречие «строжайше» обозначает наиболее высокий уровень строгости.
Примеры использования слова «строжайше» в различных контекстах: «Отец на меня смотрел строжайше, когда я сказал ему о своих оценках»; «В этой школе соблюдаются строжайшие правила поведения»; «Тренер относится к тренировкам своих спортсменов строжайше».
Таким образом, можно сделать вывод, что слово «строжайше» является наречием в русском языке. Оно обозначает высокий уровень строгости и может использоваться в различных контекстах для выражения наиболее сильного возможного признака.