В русском языке существует девять частей речи: существительное, прилагательное, числительное, местоимение, глагол, наречие, предлог, союз и частица. Определить, какой частью речи является слово «установив», можно только после того, как проанализировано контекстное значение и функциональная роль слова в предложении.
По своей форме слово «установив» — это причастие прошедшего времени от глагола «установить». Однако, причастие может выполнять разные функции в предложениях и быть разных видов. Причастие может выступать в качестве дополнения к глаголу, определения к существительному или наречию, или же оно может выступать самостоятельной частью предложения.
В предложении «Построенный дом был украшен флагами» слово «построенный» выступает в роли определения к существительному «дом». Такое причастие называется относительным, оно отвечает на вопросы «какой, какая, какое» и дает более подробную информацию о существительном.
В предложении «Установив новые правила, руководитель улучшил производственный процесс» слово «установив» является причастием, которое выступает в роли обстоятельства цели. Такое причастие называется деепричастием и образуется от глагола с помощью окончания «–вши».
В предложении «Установив микросхему, инженер проверил ее работоспособность» слово «установив» является формой глагола и выступает в роли сказуемого. В данном случае, глагол «установить» образует прошедшее время посредством приставки «у–» и окончания «–в».
Таким образом, ответ на вопрос о том, какой частью речи является слово «установив», зависит от контекста предложения и его синтаксической роли. В разных случаях это может быть как причастие, так и деепричастие, либо форма глагола. Только через анализ смыслового и фрагмента предложения можно точно установить, какая именно часть речи относится к данному слову.