Слово «взявшиеся» является сложным глагольным сказуемым в прошедшем времени, образованным по правилам сложноподчиненного предложения. Для того чтобы понять, какой частью речи является данное слово, необходимо разобраться в структуре и функциях сложносочиненных и сложноподчиненных предложений.
В данном предложении «Собаки, взявшиеся за кость, бросились друг на друга» главным членом является сказуемое — «бросились». Подлежащим является существительное «собаки», а дополнением — тоже существительное «друг друга». Однако особенностью данного предложения является наличие в нем сложносочиненного союза «за», который связывает две смысловые части. Таким образом, смысл всего предложения заключается в том, что собаки взялись за кость и бросились друг на друга.
Слово «взявшиеся» является формой глагола, которая образована от глагола «взяться». При этом глагол «взяться» принадлежит к группе сложных глаголов, которые образуют формы на основе вспомогательного глагола «быть». В данном случае вспомогательный глагол «быть» является опущенным, но его наличие подразумевается исходя из контекста предложения.
Таким образом, слово «взявшиеся» является формой глагола, которая используется для обозначения действия, произошедшего в прошлом и продолжившегося на определенный период времени. Это сложное глагольное сказуемое выражает идею длительности и активности действия, которое описывается в предложении.