Слово «закончен» является причастием прошедшего времени от глагола «заканчивать».
Причастие прошедшего времени – это неполное причастие, которое образуется от глагола и выражает некоторое действие, совершенное в прошлом, но не определенное по времени. Оно может выполнять функции прилагательного либо наречия в предложении.
В предложении «Он закончен со своей работой» слово «закончен» выступает в роли прилагательного и характеризует существительное «он». Кроме того, оно может выполнять функции сказуемого в предложениях с временами прошедшего времени, например: «Он закончил работу» — в этом случае «закончил» является глаголом-сказуемым, а «работу» – дополнением.
Таким образом, слово «закончен» в русском языке является причастием прошедшего времени и может выполнять функции прилагательного и сказуемого в предложении.