Слово застилавшим является глагольной формой прошедшего времени (причастие прошедшего времени) от глагола затаскивать.
Глагол затаскивать относится к группе двухактных (переходных) глаголов, которые требуют наличия объекта, т.е. слова, обозначающего предмет действия. В данном случае объектом является то, что было застилено.
Причастие прошедшего времени образуется путем добавления окончания –ший (–шая, –шее, –шие) к основе глагола и изменения окончания глагольной основы в зависимости от рода, числа и падежа объекта.
В данном случае окончание –ший соответствует мужскому роду, единственному числу, им. падежу и объектом является неуказанный предмет.
Примеры употребления:
— В комнате было застилавшее все кровати одеяло.
— На кухне стояло застилавшее весь стол скатертью.
Таким образом, слово застилавшим является причастной формой прошедшего времени глагола затаскивать, обозначающей действие, произведенное в прошлом и завершенное к моменту речи.