Слово застоявшимися — это глагол в страдательном причастии прошедшего времени. Страдательное причастие прошедшего времени образуется путем добавления к инфинитиву суффикса -н- и окончания -ый, -ая, -ое, -ые.
Страдательные причастия прошедшего времени используются для образования страдательных конструкций в русском языке. Страдательная конструкция выражает действие, которое совершается не самим действующим лицом (субъектом), а на него или для него. Например: «Книга была написана автором», «Дом был построен строителями».
Страдательные причастия прошедшего времени также могут употребляться в качестве определения к существительному, образуя так называемые причастные обороты. Например: «Прочитав застоявшиеся книги, я отложил их на полку».
В русском языке существует два страдательных причастия прошедшего времени: краткое и развернутое. Краткое страдательное причастие прошедшего времени имеет форму окончания существительного и не может употребляться самостоятельно в предложении. Развернутое страдательное причастие прошедшего времени, в отличие от краткого, имеет полную форму, состоящую из страдательного причастия и вспомогательного глагола «быть». Например: «Книга была прочитана мной».
Таким образом, слово застоявшимися является страдательным причастием прошедшего времени от глагола «застояться», и может употребляться в страдательных конструкциях и причастных оборотах, обозначая действие, произошедшее в прошлом.