Слово «живей» – это причастие настоящего времени от глагола «жить». В русском языке причастия являются одной из форм глагола и выражают признаки прилагательных и глаголов одновременно.
Причастия бывают активными и пассивными. Активные признаки свойственны действию, пассивные – состоянию. В данном случае, причастие «живей» является активным, так как выражает действие – жить.
Причастие имеет все формы склонения, при этом имеет грамматические признаки рода, числа и падежа, соответствующие существительному, к которому оно относится. Например, «живейшая» — женский род, единственное число, именительный падеж. А при склонении причастий должно учитываться время и залог, так как оно выражает действие, которое может быть совершенным, несовершенным, действительным и страдательным залогом.
Учитывая все вышеизложенное, можно с уверенностью сказать, что слово «живей» в русском языке является причастием настоящего времени от глагола «жить». Слово имеет род, число и падеж, как у существительного, которое оно модифицирует, и выражает активный признак – действие жить.