Живущий — это причастие от глагола жить. Следовательно, данное слово является частью речи — причастие.
Причастие — это глагольная форма, которая образуется от глагола и служит для образования временных форм и залогов глагола. Причастие может иметь активный или пассивный залог, а также в русском языке может быть имеет два вида — причастие настоящего времени (действующее), причастие прошедшего времени (страдательное).
Живущий принадлежит к причастиям настоящего времени, что означает, что оно обозначает одновременность действия с действием именного сказуемого. Например, в предложении: «Мальчик, живущий в этом доме, — мой друг», слово «живущий» указывает на действие, происходящее в настоящее время.
Помимо своей грамматической функции, причастие выполняет ряд синтаксических функций, таких как определение, обстоятельство, дополнение и т.д. Так, в предложении: «Живущий в России, я знаю много интересных мест», слово «живущий» является определением, которое указывает на того, кто знает много интересных мест.
В заключение, можно сказать, что слово «живущий» является причастием настоящего времени и выполняет различные грамматические и синтаксические функции в предложениях, в которых оно употребляется.